ทฤษฎีเบื้องต้น

Definition 1.1
ให้ a,b Îที่ b¹ 0 จะได้ว่า b/a ก็ต่อเมื่อ $ I,a = bk 
และ b\a ก็ต่อเมื่อ "k Î I,a ¹ bk
b/a จะอ่านว่า “b หาร a ลงตัว”พร้อมกับ b\a จะอ่านว่า “b หาร a ไม่ลงตัว”

Remark
จากนิยาม 1.1 เราจะไม่พูดว่า 0\a หรือไม่ เพราะไม่ได้อยู่ในนิยาม 
ดังนั้น ถ้าถามว่า 0\0 หรือไม่ ก็ให้รู้ว่า ไม่ได้นิยามตรงนี้ คือไม่พูดกัน
นับแต่นี้ เมื่อเห็นสัญลักษณ์ a\b ก็ให้รู้กันเลยว่า a ¹ 0

Theorem 1.1 (Linear Combination)
สำหรับ d\a และ d\b จะได้ว่า ทุกจำนวนเต็ม x,y ทำให้ d\ax+byเพิ่มเติม

ระบบจำนานจริง

1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียน ให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
		เขียนแทนด้วย 0.5000...
		เขียนแทนด้วย 0.2000...
• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียน ให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม  ตัวอย่างเช่น
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็น สมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}  เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็มเพิ่มเติม

ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์

คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก 
หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น
 “ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า 
ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์การใช้เหตุผล
วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ 
1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า
 “ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล” 
2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”
3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ 
คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ” อ่านเพิ่มเติม